무한에 대한 고찰과 문제제기 연구

 

도대체 무한이란 무엇일까

무한을 사는 법 

모든 사람을 당황하게 하고 타락시키는 개념이 있다

나는 악마 를 말하는 것이 아니다 악마는 윤리의 영역의 갇혀 있다

내가 말하는 것은 무한 이다

무한의 역 쌀 무한한 그 자체가 역설이다

무한을 정의상 유한한 언어의 그릇으로 담아낼 수 없다는 점에서도 그렇고

무한을 수학과 과학의 언어 체계 속에 어떻게든 우겨 놓으려는 시도는 그

성패를 떠나 많은 문제와 분란을 일으켰으며 그런 점에서 무하는 오히려

종교나 철학 에서 초월적 세계의 경계를 설정 하는 척도로서 의 역할을 해온 것이 사실이다

무하는 애당초 시내 문제 였으므로 신의 것은 신에게 로란 입장인 거다

하지만 인간의 지적 호기심은 그 무한의 경기를 끊임없이 엿보며 때로는 침탈 하기까지 했다

그러한 호기심과 짐 탈의 상징 중 가장 유명한 것이 성경의 선악과 다

니가 먹는 날에는 반드시 죽으리라 신적 지식을 갈고 에서 지식이 열매를

따먹는 택가 는 죽음이었다

선악과의 이미지는 영화 2001 스페이스 오딧세이 의 모노리스 로 이어진다

2001 스페이스 오디세이 에 나오는 다음 대사는 선 학과에 대한 신의

경고와 아주 유사하다

여기 천체는 모두 너희 될 것이다 다만 유럽 반은 제외한다

거기에 청류 카르고 시도에서는 안 된다 여기서 유로파 가 바로 모노리스

가 있는 곳 곳 상징적 무한히 거주하는 우주의 경계면이 다 영화에서는

모노리스 가 등장할 때마다 귀에 거슬리는 날카로운 금속성이 화면을 가득 채운다

이것은 특이점 에 대한 청각적 이미지 며 무 1과 유한의 경계면 인

사건의 지평선 에서 유한한 존재 가 무하 내벽을 두드릴 때 나는 소리다

금속성 갱 음은 경험할 수 없는 것을 굳이 현실의 우겨 넣으려 할때 소리

며 이를 언어로 표현할 때 우리는 이를 역설이 라 부른다

1 재논의 역 쌀 무언의 관한 가장 유명한 역설은 재논의 역설이다 길이가

1인 트랙에서 아킬레스 와 거북이가 경주를 한다 고 하자

아킬레스가 고 북 보다 2배 빠르고 그래서 거북의 그림의 입은 lg

점에서 출발할 수 있도록 어드밴티지를 줬다고 하자

아킬레스가 2분의 1 지점에 도달할 때 거북은 4분의 1만큼 앞서고

아킬레스가 그 지점에 도달하면 또 거북은 8분에 일만큼 앞서고 등등

이러한 상황이 계속 이어진다

이렇게 되면 아킬레스는 결코 거북을 따라잡을 수 없다

하지만 이 역설 소개는 또 다른 역설이 숨어 이따 무한히 여러 단계를

거쳐야 함에도 거기에 걸리는 시간은 유한한 것이다

구간 들이 점점 작아지면서 걸리는 시간도 짧아져서 이동하는데 걸린 전체

시간은 반드시 어떤 유한한 시간 내에 있게 된다

따라서 아킬레스의 경주는 일이라는 시간 내에 끝난다

그가 어떻게 목표지점에 도달했는지 그 과정은 미스테리 지만 그는 일이라는

시간 후 목표 지점에 도달한다

이렇게 무한에 문제는 시간과 얽혀있다 그리고 이것이 바로 극한의 개념이다

이는 또다른 역설적 상황을 만드는데 재논의 역설이 인정하면 유한은 시간

내에 무한히 많은 일을 할 수 있다

즉 아킬레스가 거북이가 있던 자리에 도착할 때마다 일부터 자연수를 차례로

샌다고 하면 그는 일이 가는 단위 시간 내에 모든 자연수를 살 수 있다

목표지점에 도착하기 전에 무 한 번 거북이를 따라 잡아야 하니까

하지만 자연수를 다색 다하는 것은 무슨 뜻일까

그것도 주어진 시간 내에 제논의 역설을 또 다른 버전은 화살은 결코 과녁에 도달할 수 없다 이다

이를 수학적으로 표현하면 en 제국 뿐 에일은 애니 아무리 커도 0은 아니다

하지만 이렇게 생각할 수도 있다 영이 목 피하고 있는 과녁에 중심 이라고 하자

그런데 궁수가 신의 경지에 도달해서 아무리 과녁을 작게 만들어도 항상 그

과녁 안쪽으로 명중시킬 수 있다고 하자

즉 명예 무한히 가까워지는 값에 실체가 무엇인지 모르지만 아무리 작은

값을 작아도 그보다 더 작은 수가 항상 존재한다

그래서 이 현재 국부 4일은 앤을 무한으로 보내면 0이다

여기에는 사과 유연함이 필요하다 숫자 0이 되기 위해서 꼭 0 에 도달

할 필요는 없다 이건 억지가 아니다

전편에서 얘기 안 귀로 법과 같이 무한을 우회 공략하는 아이디어다

이렇게도 생각해 보자 만 en 제국군의 1위 0이 아니라면 어떤 수 일까

끝없이 0에 가까워진다 고 말하면 그것은 움직이는 수 라서 수직선 상에

고정시킬 수 없다

유한한 시간 내에 어떤 목표 지점에 무한히 다가가는 존재를 상상할 써

놓으니까 하지만 적어도 수를 운동이 아니라 어떤 하나의 실체 라고

가정하면 끝없이 움직이는 수 라는 말 자체가 오르고 끝없이 움직인다면

그건 이미 수가 아니다

그래서 현대사 악은 애니 무한히 클 때 얜 제곱 뿐 의의를 0 이라고

하고 마찬가지 이유로 0.99 고 를 일이라고 말한다

무한히 커진다 또는 무한히 작아 진다 라는 개념이 가무 아니라면 그 중간

과정을 과격하게 점프 하고 일을 한 알 수록 고정시키는 전략이 극한 이다

이를 수식으로 표현하면 이렇다 체코의 수학자 불 차노아 독일의 수학자

바이어 슈트 라스는 재논의 아이디어를 빌려서 무리수를 유리수의 크 칸

으로 정의했다

피타고라스가 금지시킨 무리수가 마침내 정 식수로 선언 된 것이다

영원히 지속되는 수라 생각하지 말고 그냥 고정된 수 수직선 상에 한정으로

생각하자 얘기다

멋진 아이디어 지만 수학적 트릭 일뿐 무한에 문제를 속 시원히 해결한 것은 아니다

제논의 역설 에는 물체가 아예 움직일 수 없다는 2분법 의 역설 도 있다

어떤 물체가 운동을 시작하려면 가려고 하는 거리의 절반의 가야하고

그러면 먼저 그 거리의 또 절반에 해당하는 거리를 가야하고 또 그 절반의 가야하고

그래서 결국 물체는 한 발자국도 앞으로 나아갈 수 없다

이를 수학적으로 말하면 이렇다 어떤 수의 바로 다음 수는 없다

잘 생각해보라 수직선 상에 0 바로 다음 수는 뭘까

아니다 이보다 얼마든지 더 작아질 수 있다

그래서 놀랍게도 0 바로 다음 수는 없다 존재하지 않는다

만일 체 눈처럼 운동이 수직선 상에 모든 점을 통과 해야 한다면 우리는

0에서 한 발자국도 앞으로 나아갈 수 없다

0 이라는 출발점에서 한 발 앞으로 내디딜 첨 첫번째 디딤돌이 없는 것이다

여러분이 출발점에 서서 다음 지점을 바라본다면 이런 막막한 느낌일 것이다

무언가 존재하지 않는 것 같은 존재가 있다

2 아리스토텔레스와 갈릴레이 의 역설 에서 알베르트 와볼 찬호 의 역설까지

무한 에 관한 유명한 욕설 중에는 아리스토텔레스에 바퀴도 있다

그래서 바퀴가 될 때 가운데 작은 원과 바깥에 큰 어는 똑같이 한 바퀴 돈다

각각 자신의 원죄 길이만큼 동 건데 그림에서처럼 이동거리는 같다

이게 대체 어떻게 된 일일까 이를 직관적으로 이해하기 위해 크림처럼

정육각형 의 바퀴를 만들어 보자

먼저 작은 육각형 과 큰 육각형 의 구르는 면 의 잉크를 바른다

그리고 그림처럼 바퀴를 굴리면 바닥에 잉크 자국이 남는다

이런 밖은 육각형 잉크는 바닥에 고르게 묻었는데 안쪽 육각형 은 쪄 풀렸다

아 그렇다면 아리스토텔레스의 바퀴 에서도 안쪽 바퀴는 일종의 점프를 해서

움직인 단 얘기 됐군

심지어 바퀴의 중심점을 생각해보자 중심점 은 그 이동거리 만큼 질질 끌려

간 것 젤크 거리만큼 운동한 것이다

작은 것이 큰 것과 같다는 점에서 아리스토텔레스의 바퀴와 아주 유사한

갈릴레이 의 역설 돼 있다

갈릴레이는 자연수 와 그것들의 제곱 수해 일대일 대응을 생각했다

이 대응은 당연히 무안해 까지 이어진다 그런데 이를 다음처럼 표현하면

뭔가 궁금증이 생긴다

5위 1 2 3 4 의 집합이 1 4 9 16 의 집합과 일대일 대응

이라고 1 사고 16의 집합은 명백히 1234 이제 팝의 부분집합 아닌가

전체 집합이 자신의 부분 집합과 같다고 이러한 갈릴레이 의 역설의

심화시킨 알베르트 의 역설과 볼 찬호 의 역설 도 살펴보자

알베르트 의 역설 에 따르면 어떤 공간 속에 놓여 있는 무한 막대로 그

공간정보를 채울 수 있다

그림처럼 각별 의 길이가 1인 정육면체 로 이루어진 무한히 긴박 때를 상상해 보자

이 막대로 앞서 중세 이슬람 의 건축가들 처럼 무한 평면을 채울 수 있다

그리고 있는 화 상표의 방향만 반대일 뿐 갈릴레이가 사용한 방법과 동일하다

이런 일대일 대응이 의미하는 바는 이렇다 이 막대 중에 종 면 체 4개로

화면에 길이가 2인 정사각형을 만들 수 있다

9개로 는 길이가 3 인 정사각형을 16개로 는 길이가 4 인 정사각형을

만들 수 있다

이런식으로 무한히 계속하면 3.1 공간을 둘로 나누는 무한 장벽을 세울 수 있다

여기서 끝이 아니다 갈릴레이 의 역설의 확장 시키면 자연 수는 제곱 수

뿐 아니라 세제곱 수 와도 일대일 대응이 다 이 막대 중에 종류 현재

8개로 한 변의 길이가 2인 정육면체를 만들 수 있다

27개 로는 길이가 3인 정육면체를

64개 로는 길이가 사인 정육면체를 만들 수 있다

따라서 무한히 긴 막대로 어떤 큰 수에 4 세제곱 또 만들 수 있다

따라서 1차원 막대로 3차원 공간을 모두 채울 수 있다

그렇다면 인을 4차원 5차원 등등 에도 똑같이 조금 될 수 있다는 말이

아닌가 그렇다

1차원 무하는 전 차원 무 아니다 무안 앞에 차원의 제약 따위는 존재하지 않는다

이미 언급한 수학자 볼 천 오는 갈릴레이 의 일대일 대응 아이디어를

발전시켜 이를 연속체 무한으로 확장했다

그는 와인은 ex 의 그래프를 생각했다

이 그래프를 잘 들여다보면 x 축의 길이 1에 해당하는 선분이 y 축의

길이 이해 해당하는 성분과 일대일 대응 임을 알 수 있다

즉 0과 1 사이의 모든 점이 영과 이 사이의 모든 점과 같은 기수인 것이다

자 이제 아리스토텔레스의 바퀴 역설은 무한 집합의 관점에서 는 이렇게도 이해할 수 있다

안쪽 원과 바깥쪽 의원은 일대일 대응이 다

올 전화 에 따르면 심지어 유한한 반원 이 무한한 수직선과 도 같을 수 있다

다음 그림을 보자 단원과 수직선이 일대일 대응이 다 이런 유한한 것이 무

하는 것과 같다고 물찬 오는 자연수 처럼 이상적인 소에서 뿐만 아니라

수직선과 같은 연속적인 수 에서도 무한 지 팜은 자신보다 작은 것 또는

자신보다 큰 것과 동일 할 수 있다고 생각했다

그래서 그는 모든 무한에 크기는 같다 고 주장했는데 이것은 나중에 칸

투어 에 의해 틀린 것으로 판명된 다

힐베르트 호텔 역설

독일의 위대한 수학자 다비드 힐베르트 는 1924년 자신이 오랫동안 꿈꾸던 호텔을 건립한다

마치 은하철도 999 를 무한 연장한 것과 같은 무 1객실 을 가진 1층 짜리 호텔이다

힐베르트 의 명성과 무 1객실 이라는 매력 때문에 이 호텔은 당상 만원이었다

어느 날 호텔 객실이 다 찼는데 손님 한 명이 도왔다 고 하자

호텔 지배인이 방이 없으니 다른 호텔에 알아보라고 말하려는데 이 옆에있던

똑똑한 힐베르트 가 말한다

걱정말게 1호 실에서 무한대 곳일까 g 의 모든 손님을 바로 옆방 즉

n+ 1에 해당하는 방으로 옮기라고 하게

그럼 1번 방이 남게 되는 이번에는 힐베르트 어 틀의 무한 명 의 손님이 들이닥쳤다

이번에야말로 지배인이 방이 없다고 얘기 하려는데 힐베르트 가 말한다

이것도 아주 간단히 해결할 수 있네 내 노 실의 손님을 모두 2호실

옮기려고 하게 즉 모든 손님을 짝수 방으로 옮기고 나머지 호스 방에 무한

명의 손님을 받으면 되는 이런 식으로 무한대의 수입을 올리게 된 힐베르트

는 헬 베르트 호텔 옆에 무 1층 못해 빌 베르 추후 를 건설한다

힐베르트 더 장사가 너무 잘되서 눈부시게 번창하고 있는데 어느날 전기배선

문제로 헤르츠 호텔에 묵고 있던 모든 손님을 1층 짜리 힐베르트 호텔로

옮겨야 할 난국에 봉착한다

다행히 그 전에 리모델링을 끝낸 힐베르트 호텔은 손님 받을 준비를 마친 상태였다

이번에는 집이니 정말로 손사래를 쳤다

해 벨트 박사님 이건 도저히 불가능합니다

어떻게 무 1층에 다가 층별로 도 무한 객실이 있는 헬 베르투 호텔을

모든 무한 손님을 받을 수 있단 말입니까

베르트 가 측의 거만한 미소를 짓는다

걱정 말 개 유클리드 와 갈릴레이 아이디어를 참 11 이면 손님을 다 받고도 방이 남을 걸세

먼저 힐 베르투 에 1층에 묶고 있던 무한 손님은 이 애 거듭제곱 빵에 묶여 하게

즉 2 4 8 16 등의 고시 를 쓰게 하는 거지

그다음 2층에 묶고 있더 손님은 3회 거듭 째고 즉 3 9 27 81

등의 고시 를 쓰게 하고 3층에 묶고 있던 손님은 5회 거듭제곱 4층

손이 문 7회 거듭제곱 5층 손님을 11 거듭제곱 보시를 묻게 하는 거지

그제야 알겠다는 데 지배인이 대답한다

아 2 3 5 7 11 소수의 거듭제곱 보시를 말씀하시는 거군요

그렇지 자네 유클리드 dal 소수의 개수가 무한 이라는 게 증명되었다는 건 알고 있겠지

따라서 우리는 아침마다 무한 객실을 가진 무 1층의 고객들을 1층 헬

벡터 무한 호텔의 모두 수용할 수 있는 거야

게다가 1 65 실 둔 남는 방도 있지

집에 있는 헤 베르트 특유의 거만한 미소가 싫지만은 않았다

하지만 정작 힐베르트 본인은 속으로 아차 싶었다

1 층 짜리 호텔과 무 1층 호텔이 똑같은 수의 송림을 수용 한다면 힐

베르투 호텔도 그냥 1층으로 지울 거

지금까지 얘기는 하나의 뭐 하는 모든 무한을 담을 수 있다는 얘기에 다름 없다

즉 무한 더하게 무하는 무한 무한 곱하기 보안도 무 아닌 것이다

그렇다면 힐베르트 호텔은 모든 무한을 수용 할까

무슨 짓을 해도 힐 벨트 호텔이 우 수용할 수 없는 무한히 있긴 한걸까